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数学において集合 ''S'' の内部（ないぶ、）あるいは開核（かいかく、）は、直観的には ''S'' の「縁にある点を除く」 ''S'' の点全てからなる。''S'' の内部に属する点は ''S'' の内点（ないてん、）であるという。 また、集合の外部（がいぶ、）は、その集合の補集合の内部をいい、その集合にもその集合の境界にも含まれない点の全体からなる。 集合の内部という概念は位相的概念であって、任意の集合に対して定義されるものではないが、その集合がある位相空間の部分集合となっているならば定義される。内部はさまざまな意味で閉包の概念の双対概念であり、とくに圏論的な意味での双対になっている。 == 定義 == === 内点 === ''S'' がユークリッド空間の部分集合ならば、点 ''x'' が ''S'' の内点であるとは、''x'' を中心とする開球で ''S'' に含まれるものが存在するときに言う。この定義は一般に ''S'' がある距離空間 ''X'' の部分集合であるときにそのまま通用する。きちんと述べれば、''X'' が距離 ''d'' を持つ距離空間であるとき、点 ''x'' が ''X'' の部分集合 ''S'' の内点であるとは定数 ''r'' > 0 が存在して、''X'' の点 ''y'' が ''d''(''x'', ''y'') < ''r'' を満たす限りにおいて常に ''y'' ∈ ''S'' となるようにできることをいう。 さてこの定義は「開球」を「近傍」に置き換えることにより、一般の位相空間に対して一般化することができる。''S'' が位相空間 ''X'' の部分集合であるとき、点 ''x'' が ''X'' の部分集合 ''S'' の内点であるとは点 ''x'' の近傍で ''S'' に含まれるものが存在するときにいう。この定義は近傍が開であることを要請するかどうかということに依存しないことに注意すべきである。開近傍であることを要請しない場合、''S'' が ''x'' の近傍を含めば自動的に ''S'' 自身も ''x'' の近傍となる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「内部 (位相空間論)」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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